I. Grattage et loterie

1. Calculs des probabilités

a. Arbre de probabilité

La construction de l'arbre ne pose pas de difficultés, il suffit de reporter les valeurs de l'énnoncé.

b. Calcul d'une probabilité manquante

Il n'y a que trois éventualités après G, dont deux ont leur probabilité connue. La troisième se calcule aisément à l'aide de cela.

c. Gain algébrique sur l'arbre

Ici, ne pas oublier la déduction du prix initial du billet. Ainsi, un perdant aux deux épreuves aura un gain algébrique de -10 €.

2. En utilisant une variable aléatoire...

a. Calcul d'une probabilité manquante

Pour calculer cette probabilité, il faut utiliser la donnée indiquant que p(X = 190) = 1 / 250. Cet évènement correspond à deux chemin, l'un étant connu, et l'autre comprenant la valeur recherchée.

b. Calcul d'un autre probabilité manquante

Ici, même principe.

c. Calcul de la loi de probabilité de X et de l'espérance mathématique E(X)

Ici, comme d'habitude, il faut calculer la probabilité de X pour chacun de ses valeurs, et appliquer la formule de l'espérance mathématique.

Jeu de fléchettes

1. Détermination de p1 et p2

Le calcul de p1 est facile, il est donné dans l'énnoncé.

Calculer la probabilité de A2 revient à calculer p[(A1 et A2) ou (B1 et B2)]. Remarquez que les données de l'énnoncé sont que, pour tout n > 2, pAn-1(An) = 1 / 3 et pBn-1(Bn) = 4 / 5. Comme A et B sont deux évènements contraires, il faut utiliser le principe des probabilités contraires (p(E) = 1 - P(E)). Ne pas oublier aussi les probabilités totales (les évènements incompatibles) pour pouvoir calculer l'union.

2. Pour un évènement n

Ici, on applique le même raisonnement qu'à la question précédente, mais pour l'évènement n. Concrètement, cela peut se faire avec un raisonnement par récurrence.

3. Suite géométrique

Pour prouver que u est une suite géométrique, il suffit d'exprimer un en fonction de pn-1, puis pn-1 en fonction de un-1, pour avoir un en fonction de un-1.

On utilise ensuite le terme général d'une suite géométrique, et on étudie la limite.

III. Tennis

1. Probabilités

a. Probabilité de perdre sachant que l'on a perdu

Comme on a la probabilité que le service soit réussis sachant que l'on a perdu le premier, il suffit de faire la soustraction à un, il n'y a que deux issues possibles.

b. Double faute

Ici, il s'agit de la probabilité de perdre les deux services depuis le début, en ne sachant rien.

c. Mise en jeu réussie

La mise en jeu réussie a lieu dans deux cas : soit le premier service est réussi, soit il est loupé et le second est réussi. Il s'agit donc de l'évènement S1 et (S1 et S2).

2. Pari

a. Réussir k mises en jeu sur dix

Il suffit d'expliquer que l'on a une épreuve de Bernoulli, et une loi binomiale, et de donner la formule correspondante.

b. Calcul de l'espérance mathématique

X ne peut prendre que trois valeurs. Attention : le joueur gagne 10 F par mise en jeu réussie ! Pensez aussi que la denière des probabilité peut être calculée à l'aide des deux autres, c'est plus simple.

Calculez ensuite l'espérance mathématique, toujours la même formule.