I. Une fonction dont on connaît la dérivée

1. Signe de la fonction v

Avec la dérivée, on peut trouver le sens de variation de v (toujours croissante). Comme v(1) = 0, alors v est négative avant, positive après.

2. Equation de la tangente en x=1 et position relative de la courbe

Formule pour l'équation de la tangente : (T) : y = v'(a)(x-a) + v(a)

MAJ : la fonction v est bien croissante.

Voici ce que je propose comme démonstration (pas sûr, mais je ne vois pas mieux) :

Comme v' ne s'annule pas sur [0;+00[, alors il n'y a pas de point d'inflexion. La courbe C est toujours convexe ou concave, donc toujours au dessus ou au dessous de la tangente.

Comme la dérivée v'(x)=1/x est décroissante, alors les coefficients directeurs des tangentes diminuent, donc la fonction est concave.

Comme la fonction est concave, alors elle est toujours au dessous de la tangente.

3. Approximation affine...

v(a+h) ~= v'(a).h + v(a)

Puis les calculs avec h=1 et h=-0,5

4. et 5. Méthode d'Euler et courbes

J'ai fait les tableaux et les courbes avec un tableur, voici les fichiers dans différents formats (si vous ne savez pas lequel prendre, le format PDF devrait vous convenir...)

II. Un problème d'optimisation

(Note : le schéma est vu de dessus !)

a. Exprimer le temps f(x)

rappel : v=d/t <=> t = d/v

Ensuite, f(x) est la somme des temps pour parcourir la distance AH et la distance HB.

b. Etude des variations

MAJ : avec cette dérivée, image de la dérivée, ça marche. Pour étudier son signe, il suffit en fait d'étudier le signe de ça : , qui revient à résoudre ceci : .

Un delta plus tard, je trouve enfin que la dérivée s'annule en : , ainsi que son signe.

Un fois qu'on a le signe de la dérivée, on trouve les variations de f, puis le minimum de celle-ci, et on peut conclure.

III. Position relative de deux courbes

Attention : il y a une faute dans l'énoncé ! g(x) = -x^2 + 3x

1. Etude graphique

a. Tracer les courbes

Là, je ne vous aiderez pas... Cherchez tout seuls !

b. Lecture graphique

Indice : la calculatrice ou le papier millimétré sont vos amis !

2. Etude analytique

a. calculer h'(x) et h''(x)

Je pense qu'il n'y a pas trop de problèmes à ce niveau...

b. signe de h''(x) et sens de variation de h'(x)

A partir de cos(x), vous pouvez encadrer h''(x) et en déduire son signe. Le sens de variation de la dérivée seconde vient ensuite tout seul...

c. démontrer que h' s'annule pour une valeur unique et encadrer cette valeur

L'unicité de la solution est démontrable avec le corrolaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Pour trouver l'encadrement, on peut utiliser une dichotomie ou un balayage. Ma calculatrice n'ayant pas assez de mémoire pour faire un balayage entre 0 et Pi pour un pas de 10^-2, j'ai utilisé mon programme de dichotomie pour calculatrices casio

d. Sens de variation de h, solution de h(x)=0 et signe de h

Grace à la question précédente, on peut construire un tableau de variation de h, puis on réutilise les corrolaire pour prouver l'unicité de la solution. Ici, un balayage fonctionne très bien avec ma calculatrice.

e. Conclusion

Concluez.

MAJ : correction de la dérivée du II.b. et fin de la question.

MAJ : correction d'une grosse erreur dans le I.2 (c'était trop facile ;-) )

MAJ : ajout de la démonstration du I.2