I. Histoires de domino

Dans tout l'exercice, il n'y a ni ordre ni répétition.

1. Nombre de dominos du jeu

Il existe deux sortes de dominos :

• les simples (deux chiffres différents) : pour les composer on prend deux chiffres parmi 7.
• les doubles (deux chiffre identiques) : pour les composer on a sept possibilités.

2. Tirage de trois dominos simultanément

Pour faire les autres questions, il faut savoir combien de possibilités de mains différentes existent : on tire 3 dominos parmi 8

a. Possibilité d'avoir trois doubles

On tire trois dominos parmi 7, et on divise par le total de possibilités.

b. Au moins un double

Ici, on peut faire trois cas : un double et deux simples, deux doubles et un simple, trois doubles (cf. a). Les ensembles étant disjoints, on ajoute, et on divise par le total de possibilités.

c. aux moins deux dominos où figurent le six

Il faut déjà calculer le nombre de dominos où figurent le 6. Pour faire cette sorte de dominos, on met un six et ont prend un autre chiffre parmi les septs.

Ensuite, deux cas : deux 6 et un non 6 (nombre de possibilité = nombre de possibilités total - nombre de possibilités de 6), ou trois 6.

II. Machine binaire

a. Nombre de codes distincts

Ici, on fabrique des codes en prenant un chiffre parmi deux, avec ordre et répétition.

b. Variable aléatoire du nombre de 1

Ici, X peut prendre les valeurs 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4. Pour chacun de ces évènements, il faut calculer le nombre de possibilités, et le diviser par le nombre trouvé en a. pour avoir la probabilité.

Exemple : pour (X = 2) : code composé de deux 1 et de deux 0, on choisit deux places parmi quatre (sans ordre et sans répétition - puisque l'on considère le nombre de un, et non leur place) pour placer les un, et on complète par deux 0.

Ensuite, on fait le joli tableau, on vérifie que la somme des probabilités est de un (très utile), et on calcule l'espérance mathématique avec la formule E(x) = Somme_i=0⁴ X_i×P_i.

III. Jetons

1. Tirage de quatre jetons simultanément

Ici on a un tirage sans ordre ni répétition, donc combinaison.

2. Quelques évènements

Dans tout le reste, il n'y a ni ordre ni répétition.

a. Probabilité de B

Pour former 2000, il faut tirer un jeton 2 parmi deux, et trois jetons marqués 0 parmi 4.

b. Probabilité du reste

• Probabilité de A : comme il n'y a que quatre jetons marqué 0, une seule possibilité.
• Probabilité de C : on tire 4 jetons blanc parmi 6.
• Probabilité de D : pour qu'ils aient tous la même couleur, deux possibilités : quatre blanc parmi 6 ou quatre rouges parmi quatre.
• Probabilité de E : comme non E = A, p(E) = 1-p(non E) = 1-p(A).

c. Probabilité d'un évènement...

... que je suppose être P_C(B) = card(C) / card(B) (les deux cardinaux ont été calculés dans les questions précédentes).

3. Variable aléatoire de gain.

Ici, G peut prendre 5 valeurs. On calcule les probabilités les unes après les autres, c'est proche des évènements des questions précédentes, quand ce n'est pas similaire. Pour l'évènement (G = -5), il est plus facile d'utiliser 1 - (la somme des autres probabilités).

Ensuite, on fait le tableau, et on utilise la formule de l'espérance mathématique donnée ci-dessus.