I. entraînement au QCM

Je ne vais pas donner les solutions du QCM, mais juste une réponse à Bien réfléchir sur les différentes approches permettant d'obtenir rapidement le résultat : utilisez les fonctions complexes de votre calculatrice ! Pour certaines questions (la première notament), cela évite de fastidieux calculs...

II. Equations du troisième degré et forme exponentielle

Pour résoudre une telle équation, il vous faut tout d'abord vérifier que 0 n'est pas solution (car il ne peut s'écrire sous forme exponentielle) puis écrire z et l'autre complexe sous forme exponentielle (avec les deux solutions pour cosinus et sinus, dont uniquement une corespond, etc.). Souvenez-vous ensuite que deux complexes sont égaux si et seulement si leurs modules et leurs arguments sont égaux, cela devient un système. N'oubliez pas que le à 2 Pi près se divise par trois (écrivez-le sous la forme +2k Pi). En prenant trois valeurs consécutives de k, vous obtiendrez trois solutions.

Une fois le dessin tracé, vous pouvez soit utiliser une rotation d'angle 2Pi/3 (méthode très simple avec la forme exponentielle), soit calculer la longueur des côtés pour prouver que le triangle est équilatéral.

III. Super-polynôme

1. Résolution algébrique

a. ib est solution...

Il suffit de remplacer z par ib et de développer le tout. Sachant que deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales, transformez votre équation en système, et résolvez chacune des équations.

Rappel : un système, c'est deux (au moins) propositions reliées par un et. Donc les solutions du système sont l'intersection des solutions des propositions.

b. Recherche de Q ?

Posez des variables pour écrire Q sous la forme d'un polynôme du second degré, remplacez Q par son expression dans P, et identifiez.

c. Résoudre P(z)=0

Reprenez la forme de P de la question b. Et résolvez les deux facteurs du produit.

2. Amusements géométriques

Là, pas de difficultés, il suffit d'utiliser les formules du cours...

IV. Transformation

1. Quand z n'est que le fruit de votre imagination...

J'ai posé que z=bi, et ait prouvé que Re(z')=0. On m'a dit qu'il y avait plus simple.

2. Recherche de points invariants

Les points invariants sont les points pour lesquels z=z'. Résolvez l'équation obtenue.

3. Deux cercles

Remplacez z' par sa valeur dans l'expression à calculer. Quand M décrit le cercle de centre A et de rayon 2, la distance AM=2. Écrivez cela avec des complexes, utilisez l'expression que vous venez de calculer, et vous devrez normallement trouver le cercle que décris M'.

4. Ensemble E

Dans |z'|=1, remplacez z' par son expression, et vous devriez arriver rapidement à trouver l'ensemble (une médiatrice).