I. Premier exercice

1. Factorisation

Les bons souvenirs de première S vous rappeleront que a^3 - b^3 = (a-b)(a²+ab+b²)...

2. Dans le plan complexe...

a. Petit triangle

Pour la nature du triangle, en calculant la longueur des côtés, c'est immédiat. Rappel : AB = |Zb-Za|.

Pour les coordonnées polaires, par contre... Il me semble qu'on a pas encore vu ça (ou alors j'ai louppé un bout du cours, après tout c'est possible). Mais d'après ce que j'ai lu dans le livre, la forme trigonométrique d'un complexe, c'est quelque chose comme : z = |z|×(cos(arg(z)) + i×sin(arg(z))). Pour en savoir plus, voir Nombres complexes - Formes trigonométrique sur Wikipédia.

b. Opérations amusantes (n'est-ce pas ?)

Pour la vérification... vérifiez.

Pour la somme, elle devrait être nulle, et cela vous rappelle bien sûr un certain barycentre particulier au doux nom de centre de gravité.

3. Une somme annuelle

Remarquez que 1 + j + j², ça ressemble à z1 + z2 + z3 = 0... Et que l'on peut faire des factorisation de façon avoir plein de z1 + z2 + z3...

II. Le complexe du parallélogramme

1. L'affixe de D

Un parallélogramme ABCD, c'est, n'est-ce pas, quand vecteur(AD) = vecteur(BC)... En utilisant les affixes des vecteurs, miracle, on trouve la solution.

2. L'affice de I (quelle idée !)

I, c'est le milieu des diagonales... donc le milieu d'une diagonale... La formule est dans le cours...

III. G et G' sont dans un bateau

1. Cette somme est nulle

En passant en affixe, ça passe comme une lettre à la poste.

2. G et G' sont confondu. G tombe à l'eau...

Rappel : G centre de gravité de ABC <=> vecteur(AG) + vecteur(BG) + vecteur(CG) = vecteur(0). Et donc avec les primes, ont peut avoir une égalité où on trouve des primes et des pas-primes. Et en posant l'hypothèse que G et G' sont confondus, ont arrive à ce qu'on a prouvé en 1. Elle est pas belle la vie ?

IV. Premier exercice domanial

a. Forme algébrique de Z

Pas de secret : on remplace z par x + iy, et on transforme, etc.

b. Domaine heu...

Z réél <=> Im(Z) = 0

Après... j'ai trouvé un cercle de rayon 0. Soit. Errare humanum est, comme disait l'autre...

EDIT : 15.96 m'informe que je me suis planté. En fait, je vous recommande d'aller lire son commentaire. Voila.

c. Forme la plus simple de Z : Zorro.

Comme c'est un point (chez moi), c'est facile. Cette question me laisse à pense que je ne me suis peut-être pas trompé, donc que je ne vais pas chercher une éventuelle erreur.

Vous avisez, on va pas tout vous faire quand même !

V. Second exercice domanial

a. Another forme algébrique

Pas de secret : on remplace z par x + iy, et on transforme, avec le conjugué, etc.

b. Domaine heu...

Z réél <=> Im(Z) = 0 (copié-collé d'un certain exercice précédent)

Sauf que cette fois j'ai une droite. Sans oublier qu'elle est privée (la pauvre) d'un point, puisque z ≠ i .

c. Domaine F

Z imaginaire pur <=> Re(Z) = 0. Là, j'ai trouvé un joi cercle, tout rond, privé lui aussi d'un point.

d. Domaine H

A partir d'ici, c'est devenu du grand n'importe quoi, j'en avait marre, et j'ai achevé mon devoir pour pouvoir passer aux exercices...

Donc pour cette question... j'ai pas trouvé. Je me suis embarqué deux ou trois fois dans des calculs d'une longueur me dépassant, puis j'ai décidé de rester sur le plancher des vaches.

VI. Petit exercice pour faire transition

1. Résoudre la petite équation

J'ai écris Z avec a et b, et je n'ai pas trouvé de solution. Comme c'est fait à la va-vite, c'est à prendre, comme on dit, avec des pincettes.

2. Dernière question de niveau 2 (titre qui sert à rien)

a. Forme canonique

La sainte forme est donc une factorisation des z : il faut avoir quelque chose du genre (z-quelque chose)² - des petits trucs. Ça se fait comme pour les équations de cercle.

b. Résolution de l'équation

Pour pouvoir résoudre l'équation, il faut pouvoir mettre au carré le des petits trucs de la question d'avant (ça fait une idendité remarquée, et vous voyez la suite). Théoriquement, ça doit revenir à l'équation du 1.