I. Suites définies à partir d'une même fonction f

1. Etude de la fonction

a. Etude de g(x)

Dans cette première et longue question, il suffit d'appliquer la méthode habituelle : le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Donc on dérive la fonction g pour avoir ses variations, comme elle n'est pas monotone, on fait deux cas, on applique le corollaire dans chaque cas, et on donne un encadrement de chaque solution. Notez que ces solutions sont solutions de l'équation g(x) = 0 <=> f(x) - x = 0 <=> f(x) = x. Cette équation (avec x ou avec l) se retrouvera plusieurs fois dans l'exercice, donc pensez à chaque fois aux solutions a et b.

b. Etude de l'intersection et dessin

Mettez en équation l'intersection, et retrouvez l'équation de la question précédente. Quant au dessin...

2. Cas où u0 = 1

a. Dessin

b. Croissance et majoration

Ici, j'ai utilisé une récurrence pour prouver que la suite est croissante, et un autre récurrence pour prouver qu'elle était majorée par 4.

c. Convergence

Il suffit d'utiliser le théorème qui convient du cours.

d. Limite

Pour l'interval, souvenez-vous que la limite ne peut pas être supérieure à un majorant de la suite, ni inférieur à son premier terme (si elle est croissante). Pour la limite, utilisez le théorème du cours qui convient, en utilisant l'interval pour déterminer la solution correcte de l'équation.

3. Cas où u0 = 5

a. re-dessin

b. Croissance et minoration

De nouveau, deux récurrences.

c. Convergence et limite

Utilisez les mêmes théorèmes que pour le 2. pour prouver que la suite est convergente, et pour trouver l'équation donnant la limite. Ici encore, il faudra un encadrement de la limite pour trouver la bonne solution.

II. Des suites qui s'enchevêtrent

1. Calcul

Je vous laisse faire...

2. Suite w

Pour prouver que la suite est géométrique, il suffit d'exprimer Wn+1 en fonction de Vn - Un, donc en fonction de Wn. Normalement, vous devriez avoir une suite de la forme Wn+1 = Wn*q.

Utilisez la formule du cours (feuilles photocopiées) pour exprimer une suite géométrique en fonction de n. Le signe de cette forme est très simple à étudier.

3. Suites adjacentes.

Démontrez tout d'abord que l'une des deux suite est croissante et que l'autre est décroissante. Pour cela, utilisez le signe de la soustraction Un+1 - Un ou Vn+1 - Vn.

Pour démontrer que la limite de la différence est égale à zéro, utilisez la limite de la suite w (limite du cours).

Utilisez la définition des suites adjacentes pour conclure.

4. x

Faites le calcul demandé. Cela doit permettre de conclure sur la suite x.

Pour trouver la limite, utilisez les suites w et x, soit avec un système, soit avec une addition ou une soustraction de ces deux suites.

III. Le dernier exercice

1. Etude de la monotonie de la suite

Utilisez ici le signe de la soustraction Un+1 - Un pour prouver que la suite est monotone.

2. Limite

a. Un > n²

Ici, j'ai utilisé une récurrence. Pensez à développer (n+1)².

b. conclusion sur la limite

Utilisez une comparaison (cf. question précédente) pour en déduire la limite.

3. Expression de la suite

Si vous n'avez pas d'idée de conjecture, calculez les premiers termes.

Pour réaliser la démonstration par récurrence, pensez à développer vos carrés, pour les retrouver dans vos expressions développées.