I. Premier exercice

1. Détermination des dérivées

Pas de secrets : c'est la méthode boeuf, comme dirait quelqu'un. ( Rappel f(x)=cos(u(x)), f'(x)=-sin(u(x))*u'(x) )

2.

a. Conjecture

Il suffit de regarder les dérivées précédentes. Rappel : (-1)^x est égal une fois sur deux à -1, l'autre fois sur deux à 1.

b. Démonstration

Application normale de la démonstration par récurrence, pour réaliser la démonstration de Pn+1 vraie si Pn vraie, il suffit de dériver deux fois Pn, et de vérifier que l'on obtient Pn+1

II. Second exercice

1. Calculs pour se détendre

Calculs habituels, mettre la racine en puissance peut simplifier les choses...

2. Deuxième suite, parce qu'avec une seule c'est pas drôle

a.

On exprime Vn+1 en fonction de Vn, en utilisant l'expression de Un+1 en fonction de Un, et miracle : on obtient une suite géométrique.

b.

On répond à la question, normalement ça se fait tout seul avec les formules qui vont bien.

3. Comme on aime rigoler, ont fait des sommes et des produits

a.

Ici on applique la formule magique du cours, oui, c'est bien celle que vous ne retenez jamais. La limite est une limite, c'est donc comme pour toutes les limites.

b.

Là, vous vous souvenez subitement que le produit des exponentielles est l'exponentielle de la somme des exposants. Et cette illumination vous permet d'écrire la formule à partir de laquelle vous obtenez la limite.

III. Et le troisième exercice, parce qu'en Terminale S, on est un peu mazo sur les bords

1. La petite fonction, au domaine de définition tordu, parce que les fonctions définies sur R, c'est trop facile.

a. Etude des variations

Une petite dérivée, et le tour est joué. (Quelqu'un serait-il capable de m'expliquer la subtile raison d'être du gras à les dans l'énoncé ?)

b. Déterminer K

Comme vous êtes bien sages et que vous avez tracé une courbe (et à l'échelle, en plus !), vous avez conjecturé les coordonnées du point K. Le calcul de la tangente en ce point vous prouvera que vous avez raison (ou tort, vous avez le droit de vous amuser à faire trois quatre conjectures, plus, ça serait vraiment grave).

2. La suite qu'on admet, parce qu'on est trop con pour faire la démonstration

a. la question qui tue quand vous faites votre brouillon

b. démonstration de l'infériorité de la suite

Par récurrence, ça se fait tout seul.

c. And now... the variability !

Là aussi, par récurrence ça se fait tout seul.

3. Et la suite vé, parce que il n'y a pas encore assez d'inverses dans l'histoire (mazo, j'vous dis)

a. Démonstration de l'arithméticacité et détermination raisonnable et premierthermale de la suite vé

Vous exprimez Vn+1 en fonction de Vn en passant par Un+1 en fonction de Un, et c'est gagné !

b. Enfin la dernière

La formule magique, un petit remplacement, en pouf, c'est fini. Bon, il y a encore une limite, mais comme vous aimez ça, vous la faite en trente seconde chronos, et avec le sourire, ma bonne dame.