I. Exercice à partir du bac S Juin 2005

(N.B. : je n'ai pas consulté un quelconque corrigé)

A. Etude de la fonction f

a) Etude des limites :

Pour la limite en +oo, il faut factoriser au dénominateur par exp(x/4). Ensuite, on décompose exp(-x/4), et le tour est joué. La limite en -oo ne devrai pas poser de problèmes.

b) Etude des variations

Ici il n'y a qu'à dériver, et la dérivée est sans difficulté (rappel : la dérivée de exp(u(x)) est exp'(x) = u'(x) * exp(u(x)) ).

B. Etude de l'évolution d'une population

1. Premier modèle

a) Résolution bête et méchante d'une équation différentielle.

b) Ici on utilise la condition initiale pour trouver une solution unique à l'équation.

c) Et là on utilise le logarithme népérien pour résoudre l'équation.

2. Second modèle

a) Pour réaliser cette démonstration, on a l'expression de h'(t) via l'équation (E3) que l'on peut exprimer en fonction de u(t), et l'expression de h(t) en fonction de u(t) que l'on peut dériver. Il suffit ensuite d'arranger l'égalité entre ces deux expressions pour arriver à l'expression de (E2).

b) Ensuite, il suffit de résoudre l'équation, de prendre l'inverse et d'utiliser la condition initiale.

c) Comme u = f, le calcul est déjà fait (En maths, tout s'enchaîne !)

II. Second exercice

A. Etude d'une fonction auxiliaire

1) Sens de variation et limites

Le sens de variation se trouve facilement en dérivant.

La limite en -oo ne pose pas de problèmes avec la forme développée.

Pour la limite en +oo, il faut développer l'expression, puis mettre x*exp(x) en facteur.

2) Solution de l'équation g(x) = 0

Ici on utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, et un balayage, par exemple.

3) Signe de g(x)

Avec les deux questions précédentes, on peut faire un tableau de signe.

B. Etude de la fonction f

1) Limites

La limite en -oo peut se faire directement.

Pour la limite en +oo, on peut factoriser par exp(x) au dénominateur, pour sortit x/exp(x) qui est une limite du cours.

2) Asymptote oblique

Il suffit de faire la soustraction, d'étudier la limite en -oo, ça marche très bien, idem pour l'étude des positions.

3) Etude du sens de variation

a) Il suffit pour cela de dériver f(x).

b) Pour cette question, je ne suis pas sûr de ma méthode. J'ai posé la fonction h(x) = px+q, en disant que si cette fonction est tangente à Cf en alpha, c'est que h(alpha) = f(alpha) et h(x) est horizontale. Donc que p = 0, et q = f(alpha).

Pour l'encadrement, je suis partit de l'encadrement de alpha au A.2. et par inégalité successives, j'ai trouvé un encadrement de f(alpha).

c) A partir du signe de g (A.3.), on a le signe de f', donc le sens de variations de f.

4) gribouillage

A vos pinceaux !