I.

1)

a.

Pour étudier le sens de variation, j'ai posé que a < b et j'ai étudié le signe de la soustraction f(a) - f(b). Comme il est toujours positif, la fonction est toujours croissante (du moins sur l'interval d'étude).

Pour la limite, j'ai factorisé par e^x en bas.

b.

Pour l'équation de la tangente, il suffit d'applique la formule du cours des dérivée.

Pour étudier la position de la tangente, il faut poser qu'une fonction (par exemple h(x)) est la différence de f(x) et du y de la tangente, puis dériver deux fois h(x).

Conseils : ne mettez pas tout sur le même dénominateur, ça simplifie la dérivée.

Rappel : la dérivée de e^u(x) est u'(x)*e^u(x).

c.

Je vous laisse faire les gribouillages tous seuls :-)

2)

a.

En utilisant la formule (f(a+h) + f(a-h)) / 2 = b ça marche. N'oubliez avant de prouver que si a+h appartient à Df, alors a-h appartient aussi à a=Df.

b.

Gribouillez, gribouillez...

II]

1)

a.

Pour l'étude de f', il faut la dérivée, donc calcul de f' et f''. La limite se fait sans problème.

b.

Ici, on utilise le corrolaire du théorème des valeurs intermédiaires, puis soit une dichotomie, soit un balayage pour les valeurs approchées (ici pub pour programme de dichotomie pour les calculatrices CASIO que vous trouverez en visitant la section programmation de ce site).

c.

Comme f' est strictement croissante, c'est négatif avant alpha, positif après, tableau de signe, toussa toussa...

2)

a.

La limite ne devrai pas poser de problèmes (pas de fi), il faut juste décomposer.

b.

Le signe de la chose est positif, because e puissance bidule est toujours et à jamais positif. La limite est à décomposer...

Interprétez l'asymptote oblique.

3)

a.

Vous récupérez le résultat de 1.c. et dessinez un zoli tableau de variation.

b.

Re-corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, re-dichotomie ou balayage, re-pub.

c.

Re 1.c., avec la subtilité de l'interval [0,alpha] qu'il ne faut pas oublier.

a)

gribouillage, la tangente est du coefficient directeur de f'(0) que vous avez peut-être calculé pour le tableau du 1.a.