I. Exercice 1

La méthode générale consiste à démontrer que lim [ f(0 + h) - f(0) ] / h quand h-> 0 = un réel.

a.

Pour racine de x^3, il suffit d'extraire x^2 de la racine, ce qui donne : sqr(x^3) = abs(x) * sqr(x). MAJ : Il n'est pas nécessaire de faire deux cas, pensez au domaine de définition !.

Réponse : vraie

b.

Ici aussi une valeur absolue, faites deux cas, et la réponse sera vraie !

c.

Faites deux cas pour supprimer la valeur absolue (sin(-x) = -sin(x)). La seule chose à savoir, c'est que lim sin(x) / x quand x -> 0 = 1

Mais comme les deux cas ne donnent pas la même limite, la fonction n'est pas dérivable.

d.

Ici les deux cas sont imposés par la formule de la fonction. Les formules se simplifient facilement, et c'est vrai.

e.

Ici encore deux cas, une simplification facile, et une réponse vraie.

II. Exercice 2

1. Déterminez l'approximation affine

Tout est dans le cours, première page sur les dérivées. Résultat : 1-h

2.

Développez, réduisez, etc la forme du milieu de l'inégalité (remarque : il s'agit de la fonction f moins son approximation), pour trouver h^2 / (h+1).

Encadrez par inégalité h, et transformez jusqu'à avoir l'inégalité demandée.

3.

Faites comme vu en cours (l'erreur est la fonction f moins sont approximation, cf. question précédente).

III. Exercice 3

1.

Ensemble de définition

Étude du signe du polynôme, tableau de signe...

Démonstration de la symétrie

Utilisez soit le changement de repère, soit la formule f(-1/2 + h) - f(-1/2 - h) doit être égal à 0. N'oubliez pas la condition d'appartenance des x au domaine (cf. rappel sur les symétries)

Interval I

Si vous ne trouvez pas, regardez l'énoncé des questions qui suivent ;-)

2.

a.

Même formule que dans l'exercice un. La fonction n'est pas dérivable, mais il y a une tangente tout de même...

b.

Pour démontrer que f est dérivable : utilisez la propriété donnée dans la question. Il suffit donc de montrer (formule de l'exercice I.) que x^2 + x est dérivable en tout a sur ]0;+oo[. Ne pas oublier la condition "strictement positive". Une fois qu'on a la dérivée, l'étude du sens de variation est facile.

c.

La limite d'une composée...

3

MAJ : Faites la soustraction en utilisant l'expression conjuguée (c'est à dire en multipliant la différence par [ sqr(x^2 + x) + (x + 1/2) ] / [ sqr(x^2 + x) + (x + 1/2) ].

Développez et réduisez tout ça, vous arriverez à avoir -1/4 au numérateur. Il suffit ensuite d'en étudier la limite pour prouver qu'elle est égale à zéro, puis d'en étudier le signe.

4

Je vais pas vous tracer la courbe, quand même !

Voila, je compléterai au fur et à mesure... Et un jour j'essayerai de trouver un moyen plus présentable pour afficher des maths, parce que là, c'est pas top...

MAJ : correction dans la question I.a. et ajout de la question III.4.