I) Exercice 1 :

Ensemble de définition de f(x) :

c'est facile, ]1 ; +oo[

Étude de la limite en plus l'infini de f(x) :

il suffit de factoriser x^2 en haut pour le sortir de la racine, et x en bas. Résultat : -oo

Étude de la limite en 1 de f(x) :

Mise à jour : utilisez l'identité remarquable x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) en haut de la fraction, puis transformez le bas pour avoir racine carrée de x - 1. Simplifiez la fraction et calculez la limite.

Un grand merci à Jérôme et à Bastien

II) Exercice 2 :

1) Pour f(x) = sin(x) - x

On dérive la fonction (rappel : d(x) = sin(x) => d'(x) = cos(x) ), puis on étudie le signe de la dérivée (-1<=cos(x)<=1).

On prouve que f(x) >= 0 (pensez à f(0) = ? ), et on en déduit le résultat.

2) Pour g(x) = sin(x) - x.cos(x)

Pareil qu'avant, n'oubliez pas la dérivée d'une multiplication...

3)

a) Réutilisez le résultat du 2) pour "gendarmer" sin(x)...

b) Utilisez un changement de variable pour avoir sin(-x) / -x

c) Comme dit dans l'énoncé : déduisez ! (lim =1)

4) Limite en 0 de la grosse fonction g(x)

Utilisez sin^2(x)+cos^2(x)=1

III) Exercice 3

1)

Mise à jour :Construisez le tableau de variation en utilisant une symétrie central de la portion donnée en I(0;3). C'est à dire que, par exemple, limite f(x) en -1+ = +oo et lim f(x) en -1- = -oo

2)

a) déterminez a,b et c

Pour trouver c : utilisez f(0) = 3

Pour trouver b : dérivez (f'(x) = (-bx^2 - 2ax + bx - b) / (x^2 - 1)^2 et pas autre chose), et pensez à f'(0)=-4

Pour trouver a : utilisez la limite en +oo de f(x) qui est égale à 3, avec le théorème des limites pour les fonctions rationnelles.

b) déterminer l'équation cartésienne

Rappel : le nombre dérivé en I(0;3) est la pente de la tangente, ensuite une équation du cours que je ne retiens jamais (ou pour les fainéant comme moi une équation à une inconnue) permettent de trouver le reste (y=?x + ?, avec x=0 et y=3)

Étudiez la position

Faites la soustraction qui va bien, et qui est égale à (4x^3)/(x^2-1), puis un tableau de signe, etc.

c) construire le dessin

Pas fait Mais moi et les courbes...

Si vous avez des question, des précision, il y a les commentaires, réponses non garanties.

NB : contrairement à ce qui est écrit ici, ce document est dans le domaine public, ce qui veut dire que vous n'aurez pas de © Florian Birée, 2005 à mettre en bas de votre copie

EDIT : suite à une question de Kévin, mise à jour du III 1)

EDIT : ajout de la solution du I) limite en 1 donnée par Jérôme et Bastien.